مبدأ العد

الرياضيات المتخصصة · مذكرة
الوحدة الأولى: مبدأ العد والتباديل والتوافيق ونظرية ذات الحدين
مضروب العدد الطبيعي: إذا كان ن عددا طبيعيا فإن مضروب ن = ن(ن - ١)(ن - ٢) ...
التبديلة: هي كل مجموعة جزئية يمكن اختيارها من مجموعة تحتوي على عدة عناصر بأخذها كليا أو بعضها مع مراعاة ترتيب العناصر.
قوانين التباديل:
ل(ن، ر) = ن(ن-١)(ن-٢) ...
حالات خاصة:

1. ل(ن، ن) = مضروب ن
2. ل(ن، ١) = نالتوفيقة: هي كل مجموعة جزئية يمكن اختيارها من مجموعة تحتوي على عدة عناصر دون مراعاة لترتيب العناصر.قوانين التوافيق:ق(ن، ر) = ل(ن، ر) / مضروب رحالات خاصة:
3. ق(ن، ن) = ١
4. ق(ن، ١) = نإذا كان ق(ن، س) = ق(ن، ص) فإن: س = ص أو س + ص = ننظرية ذات الحدين:الحد العام في مفكوك (س + أ)^ن:ح(ر+١) = ق(ن، ر) س^(ن-ر) أ^رالحد الأوسط:
5. إذا كانت ن زوجية فإن عدد حدود المفكوك يكون فرديا ولذلك يوجد حد أوسط واحد.
6. إذا كانت ن فردية فإن عدد حدود المفكوك يكون زوجيا ولذلك يوجد حدان أوسطان ترتيبهما: (ن+١)/٢ ، (ن+٣)/٢الوحدة الثانية: المصفوفاتمصفوفة العمود هي: تتكون من عمود واحد وعدد من الصفوف.مصفوفة (متجه الصف) هي: تتكون من صف واحد وعدد من الأعمدة.المصفوفة المربعة هي: التي يتساوى فيها عدد الصفوف وعدد الأعمدة.المصفوفة الصفرية هي: التي جميع عناصرها أصفار.المصفوفة القطرية هي: التي جميع عناصرها أصفار عدا عناصر قطرها الرئيسي وهي مصفوفة مربعة.مصفوفة الوحدة هي: مصفوفة قطرية جميع عناصرها أصفار عدا عناصر قطرها الرئيسي تساوي الواحد.المصفوفة المتماثلة هي: التي تساوي منقولها.بعد المصفوفة: عدد الصفوف × عدد الأعمدة.شرط جمع مصفوفتين هو: أن يكون لهما نفس البعد.شرط تساوي مصفوفتين هو: أن يكون لهما نفس البعد، والعناصر المتناظرة متساوية.منقول المصفوفة هو: جعل الصف عمودا وجعل العمود صفا.شرط ضرب مصفوفتين أ، ب هو: أن يكون عدد أعمدة المصفوفة أ يساوي عدد صفوف المصفوفة ب.الوحدة الثالثة: الكسور الجزئيةالكسر البحت هو: ما كانت درجة بسطه أقل من درجة مقامه.الثلاث حالات للكسور الجزئية:الحالة الأولى: إذا كان المقام يحتوي على عوامل من الدرجة الأولى حقيقية ومختلفة.الحالة الثانية: إذا كان جزء من عوامل المقام من الدرجة الأولى ومكررة.الحالة الثالثة: أ) إذا كان أحد معاملات المقام من الدرجة الثانية ولا يمكن تحليله إلى عاملين حقيقيين. ب) إذا كان المقام يحتوي على عامل مكرر من الدرجة الثانية ولا يمكن تحليله إلى عاملين حقيقيين.الوحدة الرابعة: الاحتمالاتالاحتمالات هي: أحد فروع علم الرياضيات الذي يدرس نتائج التجارب العشوائية ويستخدم في العديد من التطبيقات.يتم التعبير عن الاحتمالات بعدة طرق منها: رصد العناصر والصفة المميزة.يوجد تطبيقات هامة لعملية الاحتمالات منها: الأرصاد الجوية والمواصفات والمقاييس.التجربة هي: أي عملية أو إجراء يؤدي إلى ملاحظة أو مشاهدة.التجربة العشوائية هي: التي نعلم مسبقا جميع نواتجها الممكنة دون التنبؤ بأي منها سيتحقق فعلا.فضاء العينة هو: مجموعة النتائج الممكنة للتجربة العشوائية.الحادثة هي: أي مجموعة جزئية من فضاء العينة.الحادثة البسيطة هي: التي تحتوي على نقطة عينة واحدة.الحادثة المركبة هي: التي تحتوي على نقطتين أو أكثر من فضاء العينة.الحادثة المستحيلة هي: التي لا تحتوي على أي نقطة عينة.الحوادث المنفصلة (المتنافية) هي: التي لا تحتوي على أي نقطة عينة مشتركة.اتحاد حادثتين أ أو ب هو: حادثة تتضمن كافة نقاط العينة التي تنتمي إلى أ أو ب.تقاطع حادثتين أ و ب هو: حادثة تتضمن كافة نقاط العينة التي تنتمي إلى أ و ب.الفرق بين حادثتين أ - ب هو: حادثة تتضمن كافة نقاط العينة التي تنتمي إلى أ ولا تنتمي إلى ب.مسلمات نظرية الاحتمالات:١/ إذا كانت أ حادثة فإن: ح(أ) أكبر من أو يساوي صفر.٢/ ح(ف) = ١٣/ إذا كانت أ، ب حادثتين متنافيتين فإن: ح(أ اتحاد ب) = ح(أ) + ح(ب)نظريات هامة:إذا كانت أ' هي الحادثة المتممة للحادثة أ فإن: ح(أ') = ١ - ح(أ)