مجموعة تعاريف وقوانين الكتاب الثاني في الرياضيات المتخصصة

الرياضيات المتخصصة · مذكرة
الوحدة الأولى: الدوال الحقيقية والنهايات
الدالة الحقيقية: هي علاقة من مجموعة غير خالية إلى مجموعة غير خالية بحيث يرتبط كل عنصر من المجال بعنصر واحد فقط من المجال المقابل.
مدى الدالة: مجموعة صور عناصر المجال.
مجال تعريف الدالة: جميع قيم س التي يمكن حساب صورتها وفقا لقاعدة اقتران الدالة.
قاعدة اقتران الدالة: علاقة رياضية تربط عناصر المجال بعناصر المجال المقابل.
إذا كان ع: س -> ص فإن ع تمثل دالة إذا وفقط إذا كان كل عنصر من س اقترن بعنصر واحد فقط من ص.
إذا كان ص = د(س) فإن: س تسمى بالمتغير المستقل، وص تسمى بالمتغير التابع، وعناصر س تسمى بالمجال، وعناصر ص تسمى بالمجال المقابل.
نهاية الدالة هي القيمة التي تؤول أو تصل إليها الدالة عندما يقترب المتغير المستقل فيها من أقرب قيمة حقيقية له.
وجود نهاية الدالة يقتضي أن تساوي عددا حقيقيا معينا.
تكون نهاية الدالة موجودة إذا كانت نهايتها اليمنى تساوي نهايتها اليسرى وتساوي قيمة حقيقية. نها د(س) من اليمين = نها د(س) من اليسار.
نهاية الدالة غير موجودة إذا كانت نهايتها اليمنى لا تساوي نهايتها اليسرى.
إذا كانت د(س) كثيرة حدود فإن: نها د(س) = د(أ) عندما س تؤول إلى أ.
تركيبات الدوال: (د هـ)(س) = د(هـ(س))
نظريات النهايات:
١/ إذا كانت د(س) = ج حيث ج عدد ثابت فإن نها د(س) = ج
٢/ إذا كانت نها د(س) = ل، ونها هـ(س) = ك، وج عدد ثابت فإن:

• نها ج د(س) = ج ل
• نها (د(س) + أو - هـ(س)) = ل + أو - ك
• نها (د(س) × هـ(س)) = ل × ك
• نها (د(س) / هـ(س)) = ل / ك حيث ك لا تساوي صفر
• نها (د(س))^ن = ل^ن

القانون الثاني لكوشي:
إذا كان ن، م عددان حقيقيان فإن: نها (س^ن - أ^ن) / (س^م - أ^م) = (ن/م) أ^(ن-م) عندما س تؤول إلى أ.
طرق حل النهايات عندما يكون ناتج التعويض المباشر صفر / صفر:
أ/ التحليل ثم الاختصار ثم التعويض، ويمكن أن يكون التحليل بـ:
١/ حل معادلات الدرجة الثانية.
٢/ استخراج العامل المشترك.
٣/ الفرق بين مربعين ومجموع المكعبين.
٤/ التحليل بالتجميع.
ب/ الضرب في المرافق.
ج/ القسمة المطولة.
النهاية عندما تؤول س إلى مالا نهاية:
نقسم كل من البسط والمقام على المتغير س مرفوعا لأكبر أس في المقام.

• إذا كان أكبر أس للمتغير في المقام أكبر من أكبر أس في البسط فإن ناتج النهاية دائما صفر.
• إذا كان أكبر أس للمتغير في البسط والمقام متساويين فإن ناتج النهاية هو معامل س بأكبر أس في البسط على معامل س بأكبر أس في المقام.
• إذا كان أكبر أس للمتغير في البسط أكبر فإن ناتج النهاية دائما مالا نهاية.
• إذا احتوى البسط أو المقام على جذور نقسم على معامل أكبر أس.

نهاية الدوال المثلثية:
عندما س تقترب أو تؤول إلى الصفر:
نها جا س / س = ١
نها ظا س / س = ١
نها (١ - جتا س) / س = صفر

الوحدة الثانية: التفاضل
متوسط معدل التغير = (د(س + هـ) - د(س)) / هـ
معدل التغير: (المشتقة الأولى - المعامل التفاضلي الأول) ويرمز له بـ: ص'، د'(س)، دص/دس.
ويعبر عنه بـ: نها (د(س + هـ) - د(س)) / هـ عندما هـ تؤول إلى صفر.
قوانين التفاضل:
١/ تفاضل جمع وطرح دالتين: تفاضل الأولى + أو - تفاضل الثانية.
٢/ تفاضل ضرب دالتين: الأولى × تفاضل الثانية + الثانية × تفاضل الأولى.
٣/ تفاضل قسمة دالتين: (المقام × تفاضل البسط - البسط × تفاضل المقام) / مربع المقام.